Odmocnina z jedné

Páté odmocniny z jedné v komplexních číslech zakresleny v komplexní rovině

Odmocnina z jedné je pojmem v matematice, kde se jím nejobecněji označuje každý prvek okruhu, který umocněn na nějaké celé číslo dává jednotkový prvek. Zvláště významný případ představují odmocniny z jedné v tělese komplexních čísel, kde se někdy označují za de Moivrova čísla a jedná se o taková čísla, jejichž nějaká celočíselná mocnina je rovna jedné.

Speciálně se n-tou odmocninou z jedné pro n z kladných přirozených čísel rozumí takový prvek a, pro který platí $a^{n}=1$. Taková odmocnina se dále nazývá primitivní n-tá odmocnina z jedné, pokud není k-tou odmocninou z jedné pro žádné $k<n$.

Vlastnosti

• Každé algebraicky uzavřené těleso má n různých n-tých odmocnin z jedné za předpokladu, že n není dělitelné jeho charakteristikou.
• Každá odmocnina z jedné je n-tou odmocninou z jedné pro nějaké n.
• Každá mocnina odmocniny z jedné je také odmocninou z jedné, neboť

  $(z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.$

• Je-li $z$ n-tá odmocnina z jedné, pak jsou její mocniny $z,z^{2},z^{3},z^{4},\dots ,z^{n-1}$ navzájem různé. Důkaz sporem: Je-li $1=z^{a}=z^{b}$, kde bez újmy na obecnosti $1<a<b<n$, pak také $z^{b-a}=1$, což je ve sporu s primitivitou, neboť jsme našli menší exponent, $0<b-a<n$, na který umocněno dává $z$ jedničku.
• Protože polynom n-tého stupně může mít nanejvýš n kořenů, jsou všechny mocniny primitivní n-té odmocniny z jedné právě všemi n-tými odmocninami z jedné.
• V komplexních číslech lze všechny n-té odmocniny z jedné vyjádřit pomocí de Moivrovy věty:

  $\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx$, odkud po dosazení $x=2\pi /n$ vyplývá hodnota n-té odmocniny z jedné, o které lze dokázat, že je primitivní:

  $\left(\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}\right)^{n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,$, tedy všechny odmocniny z jedné lze získat jako její mocniny:

  $\left(\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}\right)^{k}=\cos {\tfrac {2k\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2k\pi }{n}}\neq 1$ pro $1<k<n$

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu odmocnina z jedné na Wikimedia Commons